اگه دنبال یک راه ساده و کاربردی برای یاد گرفتن محیط و مساحت اشکال هندسی هستین، این مقاله همون چیزیه که بهش نیاز دارین. شاید وقتی اسم فرمول میاد، ذهنتون بره سمت یک چیز سخت و پیچیده؛ ولی باور کنین که با بهترین روش‌های درس خوندن و یک ذره تمرین، این فرمولها میشن بهترین دوست‌های شما در امتحان‌ها.
یک نکته جالب اینه که وقتی این فرمولها رو قشنگ یاد بگیرین، یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی هم براتون مثل آب‌خوردن میشه! چون اونجا هم همین مفاهیم رو استفاده می‌کنین؛ فقط یک مرحله پیشرفته‌تر. پس با ما همراه باشین تا نه تنها این درس رو راحت‌تر بفهمین، بلکه از حل مسئله‌های هندسی هم کیف کنین! آماده‌این؟
توی این مقاله، قراره با یک زبان ساده و دوستانه، فرمول‌های محیط و مساحت رو بهتون یاد بدیم.
منظور از محیط و مساحت اشکال هندسی چیه؟
محیط و مساحت اشکال هندسی در ریاضیات، دو ویژگی مهم اشکال دو بعدی به شمار میرن. محیط اشکال هندسی، فاصله مرز شکل رو مشخص می‌کنه؛ در حالی که مساحت اشکال هندسی، ناحیه اشغال شده توسط اون رو شرح میده.
این دو ویژگی، مفاهیم مهمی در ریاضیات هستن که هر کسی باید اون‌ها را بلد باشه.
نکته قابل توجه اینه که محیط و مساحت برای هر شکل و اندازه‌ای اعم از منظم یا نامنظم قابل استفاده‌ست.
هر شکلی فرمول، مساحت و محیط خاص خودش رو داره. در ادامه به طور خاص این دو ویژگی رو برای درک مفهومی هر یک به تفصیل توضیح دادیم.
مفاهیم مساحت اشکال هندسی
مساحت شکل‌های هندسی، به ناحیه‌ای گفته میشه که توسط هر شکل محدود شده. با محاسبه فضای پوشیده شده توسط هر شکل هندسی دو بعدی در یک صفحه، مساحت شکل به حساب میاد.
مساحت همه اشکال به ابعاد و خواص اون‌ها بستگی داره. اشکال مختلف دارای نواحی مختلفی هستن. بدیهیه که مساحت دایره با مساحت لوزی متفاوته.
اگه دو جسم دارای شکل مشابهی باشن، لزوما مساحت اون‌ها برابر نیست، مگر این که ابعاد هر دو شکل نیز برابر باشه.
فرض کنین، دو جعبه مستطیل، با طول L1 و L2 و عرض B1 و B2 وجود داره. بنابراین مساحت هر دو جعبه مستطیل شکل، مثلاً A1 و A2 برابر خواهد بود؛ فقط اگه L1=L2 و B1=B2 باشه.
مفاهیم محیط اشکال هندسی
محیط اشکال هندسی به عنوان کل فاصله اطراف هر شکل تعریف میشه. در واقع، محیط به طول هر شکلی گفته میشه که به صورت خطی به هم وصل شدن. محیط، یک فاصله کلیه که یک شکل رو در یک صفحه 2 بعدی در بر می‌گیره.
محیط اشکال مختلف بسته به ابعاد اون‌ها می‌تونه از نظر طول با همدیگه مطابقت داشته باشه. به‌عنوان مثال، اگه یک دایره از یک سیم فلزی به طول L ساخته شده باشه، از همون سیم می‌تونیم مربعی بسازیم که طول اضلاع اون برابر باشه.
تعاریف پایه هندسه؛ اولین گام یادگیری دنیای اشکال
قبل از این که سراغ فرمول‌های اشکال بریم، بهتره اساس و بدیهیات دنیای هندسه رو بلد باشیم. شاید در نگاه اول خیلی ساده باشن. اما در هندسه لازمه هر چیزی رو به اثبات برسونین؛ حتی هر چیزی که می‌بینین و به درست بودن اون شک ندارین! در ادامه مقاله به شرح بدیهیات و مفاهیم پایه دنیای هندسه می‌پردازیم.
- خط راست: خطی که از دو سمت بازه و می‌تونیم اون رو امتداد بدیم.
- نیم خط: خط راستیه که از یک سمت بسته و از سمت دیگه باز و نامحدوه.
- پاره خط: خطی که دو طرف اون بسته و طولش قابل محاسبه‌ست.
- ضلع: به پاره خط‌هایی که شکل هندسی رو می‌سازن ضلع میگن.
- راس: راس، نقطه‌ایه که دو پاره خط رو در یک شکل هندسی به هم متصل می‌کنه. در هر شکل هندسی تعداد اضلاع با تعداد راس‌ها برابره.
- زاویه: به محدوده بین دو پاره خط یا دو نیم خط که هم‌راس باشن زاویه گفته میشه.
- زاویه تند یا حاده: زاویه‌ای که اندازه اون بین 0 تا 90 درجه باشه.
- زاویه قائم: به زاویه 90 درجه رو راست یا قائم گفته میشه.
- زاویه باز یا منفرجه: زاویه‌ایه که بین 90 تا 180 درجه باشه.
- زاویه نیم صفحه: زاویه 180 درجه، زاویه نیم صفحه نامیده میشه.
- زاویه تمام صفحه: به زاویه 360 درجه تمام صفحه میگن.
- نیمساز: پاره خط یا نیم خطی که زاویه رو به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کنه.
- درجه: واحد اندازه‌گیری زاویه درجه‌ست. درجه از 0 تا 360 وجود داره.
- ارتفاع: خط عمودی که یک راس رو به یک خط وصل می‌کنه و معمولا با h نشون داده میشه.
- قطر: پاره خطی صاف که دو نقطه از محیط دایره رو به هم متصل کرده و از مرکز دایره می‌گذره.
- مرکز دایره: نقطه‌ای در وسط دایره که هر نقطه روی محیط دایره از اون فاصله‌ای برابر داره. مرکز دایره با d نشون داده میشه.
- شعاع دایره: به فاصله هر نقطه روی محیط دایره تا مرکز دایره شعاع گفته میشه. در واقع شعاع نصف قطر یک دایره‌ست و با r نمایش داده میشه.
- محیط: به دور تا دور یک شکل هندسی محیط اون شکل میگن. برای محاسبه محیط یک شکل کافیه تمام اضلاع اون شکل رو با هم جمع کنیم.
- مساحت: سطح و فضای داخل یک شکل هندسی دو بعدی، مساحت اون شکل محسوب میشه. مساحت در واقع کف و سطح یک شکله.
فرمول‌های محیط و مساحت انواع اشکال هندسی
پیشنهاد میشه که بعد از درک مفاهیم محیط و مساحت، فرمول‌های اون رو به صورت کامل یاد بگیرین تا بتونین در امتحانات بهترین عملکرد رو داشته باشین. پیشنهاد می‌کنیم که روی یک برگه، این فرمولها رو بنویسین تا بتونین در سریع‌ترین زمان اون‌ها رو مرور کنین.
می‌تونین فرمول‌های پرکاربرد مساحت و محیط رو مشاهده کنین:
- مساحت مربع = یک ضلع × خودش؛
محیط مربع = 4 × یک ضلع؛
- مساحت مستطیل = طول × عرض؛
محیط مستطیل = 2 × (طول + عرض)؛
- مساحت مثلث = 2÷ (قاعده × ارتفاع)؛
محیط مثلث = مجموع سه ضلع؛
- مساحت مثلث متساوی الاضلاع = 2÷ (قاعده × ارتفاع)؛
محیط مثلث متساوی الاضلاع = 3 × یک ضلع؛
- مساحت مثلث متساوی الساقین = 2÷ (قاعده × ارتفاع)؛
محیط مثلث متساوی الساقین= مجموع سه ضلع؛
- مساحت مثلث قائم الزاویه = 2÷ (قاعده × ارتفاع)؛
محیط مثلث قائم الزاویه = مجموع سه ضلع؛
- مساحت ذوزنقه = نصف ارتفاع × (قاعده بزرگ + قاعده کوچک)؛
محیط ذوزنقه = مجموع چهار ضلع؛
- مساحت لوزی = 2÷ (قطر بزرگ × قطر کوچک)؛
محیط لوزی = 4 × یک ضلع؛
- مساحت بیضی = (نصف قطر بزرگ × نصف قطر کوچک ) ×3/14؛
- محیط دایره = عدد پی ( 3/14 ) × قطر؛
محیط دایره = شعاع × عدد پی (3/14)×2؛
مساحت دایره = عدد پی (3/14 ) × شعاع × شعاع؛
- مساحت متوازی الاضلاع = قاعده × ارتفاع؛
محیط متوازی الاضلاع = 2 × مجموع دو ضلع متوالی؛
- محیط چند ضلعی منتظم = طول یک ضلع × تعداد اضلاعش؛
مساحت جانبی استوانه = محیط قاعده × ارتفاع؛
- سطح کل استوانه = مساحت دو قاعده + مساحت جانبی (مساحت مجموع دو قاعده + ارتفاع × محیط قاعده)؛
- مساحت جانبی منشور = مجموع مساحت سطوح جانبی؛
مساحت کلی منشور = مجموع مساحت دو قاعده + مجموع مساحت سطوح جانبی.
از تاریخچه هندسه چی می‌دونین؟
هندسه از کلمه یونانی “GeoMetron” گرفته شده؛ حالا GeoMetron به چه معناست؟ geo به معنی زمین و Metron معنی اندازه‌گیری میده.
مطالعه هندسه به زمان‌های بسیار دور و باستانی بر‌می‌گرده که در تمام تمدن‌ها از جمله مصر، بابل، هند، چین، یونان و… مورد بررسی قرار می‌گرفت.
عجیب هم نیست؛ چون هندسه در زندگی ما نقش اساسی ایفا می‌کنه. شاید بعضی دانش‌آموزان با این موضوع موافق نباشن؛ اما واقعیت رو باید پذیرفت!
همین اهرام مصر که سالانه میلیون‌ها بازدیدکننده داره، جلوه‌ای زیبا از کاربرد هندسه‌ست. حدود 2900 سال قبل از میلاد اولین هرم مصر ساخته شد.
دانش هندسه برای ساختن اهرام که از یک قاعده مربع و وجه‌های مثلثی تشکیل شده بودن، ضروری بود. کلی مثال دیگه هم در دنیای باستان وجود داره که صحبت درباره‌شون در حوصله این مقاله نمی‌گنجه.
اولین استفاده از علم هندسه
هندسه در ابتدا مجموعه‌ای از قوانین برای محاسبه طول، مساحت و حجم بود. بسیاری از اون‌ها تقریب‌های خامی بودن که از طریق آزمون و خطا به دست اومدن.
این دانش که توسط بابلی‌ها و مصری‌ها در ساخت و ساز، دریانوردی و نقشه برداری مورد استفاده قرار گرفت، سرانجام به یونانیان منتقل شد.
البته افتخار کشف فرمول‌های هندسه مدرن متعلق به بابلی‌ها نبود، بلکه یونانی‌‌ها بودن که با استفاده از دانش به دست اومده از بابلی‌ها و مصری‌ها، هندسه رو گسترش دادن.
سرآغاز هندسه مدرن
یونانیان باستان (سال 600 قبل از میلاد – سال 400 پس از میلاد) بودن که اصول هندسه مدرن رو به کمک تالس میلتوس (سال 624-547 قبل از میلاد) توسعه دادن.
آوردن علم هندسه از مصر به یونان رو به تالس نسبت میدن. تالس، مثلث‌های مشابه رو مطالعه و اثبات کرد که اضلاع متناظر مثلث‌های مشابه با هم تناسب دارن.
پس برای یادگیری مثلث‌های متشابه باید از تالس تشکر کنین!
پایه‌گذار علم هندسه کی بود؟
البته فیثاغورث به عنوان اولین ریاضیدان محض شناخته میشد که به طور منطقی مسائل هندسی رو از اصول اولیه استنتاج کرد. اون مکتبی رو ابداع کرد که به معرفی ریاضیات و فلسفه می‌‌پرداخت.
برخی مکتب فیثاغورث رو مهد عقل و اندیشه منطقی می‌دونن. فیثاغورث وظیفه خودش رو از دنیای علم و ریاضی با معرفی قضیه فیثاغورث ادا کرد؛ همون موضوعی که بیشتر دانش‌آموزان از اون فراری هستن!
اقلیدس پدر هندسه مدرن
اقلیدس (سال 325–265 قبل از میلاد)، یکی از بزرگترین هندسه‌دانان یونانی بود و بسیاری اون رو «پدر هندسه مدرن» می‌دونن که بزرگترین دستاورد اون تالیف کتاب اصول اقلیدس بود.
اصول اقلیدس اساس هندسه مدرن رو تشکیل میده که امروزه هنوز در مدارس تدریس میشه.
پیشرفت اصلی علم هندسه به خاطر کی بود؟
تا زمان ظهور رنه دکارت (سال‌های 1596-1650) هیچ پیشرفت چشمگیری در هندسه دیده نشد. از همه این‌ها هم که بگذریم، می‌رسیم به فراکتال! جدیدترین پیشرفت در هندسه، فراکتاله.
فراکتال توسط بنوا مندلبرو در کتاب هندسه فراکتال طبیعت در سال 1982 توسعه پیدا کرد.
فراکتال ساختاری هندسیه که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همون ساختار نخستین به دست بیاد. البته یادگیری اون در مقاطع بالاتر ارزش داره.
بودجه‌بندی هندسه مقطع دوم متوسطه
از همون پایه دهم با مباحث ساده هندسی آشنا میشین. در مقطع اول متوسطه این دانش گسترش پیدا می‌کنه و در دوره دوم به طور ویژه و اختصاصی به مطالعه هندسه می‌پردازین.
این موضوع برای دانش‌آموزان رشته ریاضی اهمیت بیشتری داره، زیرا بعضی از رشته‌های دانشگاهی اون‌ها به طور مستقیم با هندسه در ارتباطه.
در ادامه با مباحث هندسه دهم، یازدهم و دوازدهم ریاضی بیشتر آشنا میشین.
هندسه دهم ریاضی
هندسه یکم، به عنوان اولین کتاب تخصصی هندسه در مقطع دوم متوسطه به خوبی مسائل ترسیم‌های هندسی، قضیه تالس و تشابه، چند ضلعی‌ها و تجسم فضایی رو پوشش میده.
در این بخش با حل فعالیت‌ها، کار در کلاس، مثال و تمرین به تسلط خوبی دست پیدا می‌کنین. البته برای صد زدن در آزمون‌ها، خوندن کتاب درسی کافی نیست و استفاده از منابع کمک آموزشی هم پیشنهاد میشه.
[inline_post_rel p_id=3801]
هندسه یازدهم ریاضی
مباحث هندسه یازدهم یک مقدار تخصصی‌تر میشن. در این پایه با مباحث دایره، تبدیل‌های هندسی و روابط طولی در مثلث بیشتر آشنا میشین.
روابط طولی مثلث از بخش‌های مورد علاقه طراحان کنکوره که هر ساله سوالات زیادی از اون طرح میشه.
[inline_post_rel p_id=2088]
هندسه دوازدهم ریاضی
رسیدیم به حساس‌ترین نقطه مقطع دوم متوسطه یعنی پایه دوازدهم! ماتریس و کاربردها، آشنایی با مقاطع مخروطی و بردارها از مباحث مهم هندسه دوازدهم هستن که سهم بیشتری در کنکور دارن.
در پایه دوازدهم، هندسه و ریاضیات عددی بیشتر ترکیب شده و طبعا ذهن داوطلبان رو بیشتر به چالش می‌کشه. البته یادگیری اون چندان سخت نیست و تنها به تکرار و تمرین زیاد نیاز داره.
[inline_post_rel p_id=5163]
یادگیری فرمول‌های محیط و مساحت در کوتاه‌ترین زمان
ما مجموعه‌ای کامل از مهم‌ترین فرمول‌های هندسه رو در اختیار شما قرار دادیم؛ الان نوبت یادگیری میرسه!
با توجه به تعداد بالای فرمول‌های اشکال هندسی و شباهتشون به همدیگه ممکنه یادگیری اون‌ها سخت باشه. اما پرش بهتون نکاتی رو یاد میده که در کمترین زمان ممکن، صفر تا صد فرمول‌های محیط و مساحت رو یاد بگیرین.
بدون شک حفظ کردن فرمولها و به کارگیری اون‌ها در مسائل یکی از مهم‌ترین چالش‌های پیش‌روی دانش‌آموزهاست؛ پس بهتره که اون‌ها با یادگیری راهکار‌های اصولی، این مشکل رو برای همیشه برطرف کنن.
ما در این قسمت تکنیک‌ها و نکات مهم حفظ فرمول رو به صورت دقیق بررسی می‌کنیم. برای یادگیری بهتر این موضوع در ادامه مطلب همراه ما باشین.
تمرین و تکرار برای حفظ فرمولها
اولین قدم برای یادگیری بهتر فرمول مساحت و محیط اشکال هندسی، تکرار و تمرینه. شما باید بدونین که تکرار و تمرین بهترین راه برای یادگیری فرمول‌های هندسیه.
شما با انجام تمرین‌های مختلف می‌تونین مساحت شکل‌های هندسی و فرمول‌های اون رو به صورت مفهومی یاد بگیرین و با چالش‌های مختلفِ حل فرمول‌های محیط آشنا بشین.
سعی کنین فرمولها رو به صورت نمودار برای خودتون در نظر بگیرین. یادگیری فرمول‌های مادر به شما کمک می‌کنه که فرمول‌های وابسته رو بهتر بشناسین.
این روش کاملا تضمینی بوده؛ اما، به زمان نسبتا بیشتری نیاز داره.
[inline_post_rel p_id=378]
شبیه‌سازی فرمول‌های ریاضی
یکی دیگه از روش‌های حفظ فرمول و یادگیری مفهومی اون، شبیه‌سازیه. در این روش شما باید خلاقیت به خرج بدین و فرمولها رو در ذهنتون شبیه‌سازی کنین.
سعی کنین برای یادگیری فرمول‌های محیط و مساحت از شعر استفاده کنین؛ همون کاری که تعداد زیادی از دانش‌آموزان برای یادگیری جدول تناوبی عناصر انجام میدن.
انجام این کار باعث میشه که دانش‌آموزان به صورت کاملا مفهومی و همیشگی این موضوعات رو در ذهنشون ثبت کنن.
درک مفهومی و دقیق فرمولها
بهتره که برای درک مفهومی فرمول‌های هندسی، فقط به حفظ کردن قانع نشین. زمانی که شما فرمول‌های مختلف رو حفظ می‌کنین، بدون شک در زمان کوتاهی هم همون مطالب رو فراموش می‌کنین.
سعی کنین در هر مبحث با نحوه کار فرمولها آشنا بشین و به صورت دقیق هر قسمت رو در حافظه‌تون ثبت کنین.
مثلا شکل فرمول رو با اضافه کردن متغیر‌های مختلف تغییر بدین، معادله رو به چالش بکشین؛ اما به هیچ عنوان رابطه ریاضی رو حفظ نکنین.
توجه به بخش‌های مشترک فرمولها
زمانی که شما یک فرمول جدید یاد می‌گیرین، باید تمام تمرکزتون رو روی یادگیری اون فرمول بذارین. برای این کار، یکی از راه حل‌های پیشنهادی ما به شما اینه که فرمول رو بنویسین.
تا اونجایی که کامل اون رو به خاطر بسپارین هر چند بار که لازمه بنویسین. نوشتن باعث تثبیت فرمولها در ذهن شما میشه.
بعد از اون، می‌تونین فرمول‌هایی رو که در کل یاد گرفتین با هم مقایسه کرده و قسمت‌های مشترک اون‌ها رو در ذهنتون ثبت کنین. این کار به شما کمک می‌کنه که راحت‌تر فرمولها رو حفظ کرده و به کار ببرین.
اهمیت یادگیری فرمول محیط و مساحت اشکال هندسی
از مواردی که اهمیت فرمول‌های محیط و مساحت اشکال هندسی رو بالا می‌بره، کاربردی بودن اون‌ها در دنیای ریاضی، زندگی روزمره و سایر علومه.
همچنین باید گفت که دانش‌آموز بدون یادگیری این فرمولها قادر نیست که این درس رو در مقاطع و پایه‌های بالاتر با موفقیت پشت سر بذاره و نمره خوب و قابل قبولی رو به دست بیاره.
افزایش تمرکز برای یادگیری بهتر فرمولها
ریاضی، یک درس کاملا مفهومیه که برای موفقیت در اون، باید مفاهیم رو به خوبی و به شکلی عمیق بفهمین. پس بهتره که شما هنگام یادگیری مباحث، استرس رو از خودتون دور کنین و با تمرکز بیشتری مطالب رو بخونین.
یادتون باشه برای درک بهتر فرمول‌های ریاضی، ذهن شما باید آماده یادگیری باشه؛ پس به اندازه کافی استراحت کرده و تمام مسائلی که باعث عدم تمرکز شما میشه از خودتون دور کنین.
[inline_post_rel p_id=706]
جمع‌بندی
فرمول‌های مساحت و محیط اشکال هندسی مبحث مهمیه که بیشتر دانش‌آموزان تمایل به یادگیری دقیق اون دارن تا بتونن نمرات خوبی در این درس به دست بیارن.
در هر مقطع و پایه‌ای که در حال تحصیل هستین، ریاضیات یکی از درس‌های مهم برای شماست. همچنین یادگیری دقیق محیط و مساحت اشکال هندسی هم از مباحث پر اهمیت در این درسه. اما بعضی وقت‌ها با زیاد شدن حجم دروس و مباحث، این فرمولها به فراموشی سپرده میشن.
ما در این مقاله مساحت اشکال هندسی رو به صورت دقیق بررسی کردیم که شما با مطالعه کاملش می‌تونین تمام مطالب رو به صورت دقیق یاد بگیرین. اگه این نوشته براتون مفید بوده، پیشنهاد می‌کنیم فرمول‌های انتگرال رو هم از مقاله «فرمول‌های انتگرال گیری» ما در بلاگ پرش، یاد بگیرین.
همچنین اگه دنبال بهترین روش تدریس ریاضی هستین، معلم خصوصی پرش رو به یاد داشته باشین و برای کسب اطلاعات بیشتر هم می‌تونین شماره تماستون رو وارد باکس شماره پرش کنین.✔
چطوری محیط و مساحت یک شکل هندسی رو پیدا کنیم؟
هر شکل هندسی فرمول منحصر به خودش رو برای محاسبه محیط و مساحت داره که در این مقاله به صورت مجزا به هر کدوم اشاره کردیم.
شکل هندسی چیست؟
شکل هندسی مجموعه‌ای از چند ضلع هم راس و زاویه‌ست.
مساحت چیست؟
مقدار سطحی که یک شکل دو بعدی در صفحه اشغال می‌کنه رو مساحت میگن.