فرمول حجم اشکال هندسی در ریاضیات

منظور از حجم اشکال هندسی چیه؟

حجم شکل‌های هندسی، به مقدار فضای اشغال‌ شده هر شکل در فضای سه‌بعدی گفته میشه. حجم، معمولاً بر حسب واحد مکعب، اندازه‌گیری میشه. به عبارت دیگه، حجم هر جسم یا ظرف، ظرفیت اون برای نگهداری یک مقدار سیاله (گاز یا مایع).

حجم اشکال سه‌بعدی مثل حجم مکعب مستطیل، مکعب مربع، استوانه، مخروط، کره و منشور رو میشه به راحتی و با استفاده از فرمول‌های ریاضی محاسبه کرد؛ در حالی که برای پیدا کردن حجم اشکال پیچیده، باید از حساب انتگرال استفاده کنیم. در این مقاله همه فرمول حجم اشکال هندسی ارائه شده که می‌تونه بهتون در یادگیری کامل این فرمول‌ها خیلی کمک کنه.

حجم کره

کره در هندسه، یک شکل هندسی 3 بعدیه که از مجموع نقاطی تشکیل میشه که در فاصله یکسان از مرکز کره قرار دارن. به این فاصله، شعاع کره گفته میشه و به دو برابر شعاع کره هم، قطر. در واقع قطر کره از اتصال دو نقطه‌ای که دورترین فاصله رو از هم دارن به وجود میاد. فرمول محاسبه حجم کره رو در این قسمت براتون تعریف کردیم که v به معنای حجم و r نماد شعاعه:

حجم نیم‌کره

در واقع نیم‌کره، همون شکل کره‌ست که از وسط، به دو نیم تقسیم شده؛ در نتیجه برای به دست آوردن حجم نیم‌کره، کافیه فرمول قبلی رو تقسیم بر دو کنین تا به فرمول حجم نیم کره به دست بیاد:

حجم مکعب مستطیل

مهم‌ترین فرمول حجم اشکال هندسی، فرمول حجم مکعب مستطیله. مکعب مستطیل یک شکل هندسیه که شبیه جعبه‌ست؛ دارای شش وجه مسطحه که همه اون‌ها مستطیل هستن. تمامی زوایای مکعب مستطیل قائمه هستن. مکعب مستطیل یک نوع منشوره که سطح مقطع اون در هر نقطه یک مستطیله.

این شکل هندسی، از قرار گرفتن 6 وجه در فضای سه بعدی ایجاد میشه و هر یک از این وجه‌ها، تنها با یک وجه دیگه مشترکه. همچنین هر راس این شکل، با رئوس سه وجه دیگه در ارتباطه. برای به دست آوردن حجم مکعب مستطیل، کافیه از فرمول زیر استفاده کنین که a نماد ارتفاع، c نماد طول و b نماد عرضه:

حجم مکعب مربع

این شکل هم با قرار گرفتن 6 وجه در کنار هم دیگه تشکیل میشه و به دلیل برابر بودن اندازه هر 6 تا وجه، این مکعب رو یک 6 ضلعی منتظم در نظر می‌گیرن. اندازه هر ضلع مربع رو با نماد a نشون میدن و با استفاده از فرمول زیر، می‌تونین به راحتی حجم مکعب مربع رو به دست بیارین:

حجم استوانه

یکی دیگه از حجم‌های هندسی که خیلی از دانش‌آموزان در یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی ممکنه باهاش به مشکل بربخورن، استوانه‌ست. این شکل در واقع از دو صفحه موازی رو به هم و پوشیدگی مشابه به دیوار دور اون‌ها تشکیل شده.

استوانه ترکیب دایره‌ای به شعاع r و مستطیلی با ارتفاع h هست؛ به این حالت که مستطیل در میانه قرار گرفته و یک دایره در بالا و یک دایره در پایین وجود داره. برای محاسبه حجم استوانه، لازمه که شما در ابتدا با استفاده از فرمول مساحت دایره، مساحت یکی از قاعده‌های استوانه که s هست رو به دست بیارین و در ارتفاع ضرب کنین:

برای محاسبه مساحت استوانه هم می‌تونین فرمول مساحت استوانه رو در مقاله مربوط مطالعه کنین.

حجم منشور

منشور، یکی از اشکال هندسیه چند وجهیه. در واقع هر شکلی که چند وجهی بوده و ویژگی های زیر رو داشته باشه، یک منشوره:

• انتهای شکل، قابل تشخیص باشه؛
• در تمام طول شکل، سطح مقطع تغییر نکنه؛
• همه وجوه، از سطوح صاف تشکیل شده باشن.

البته باید این مورد رو در نظر داشته باشین که چون منشور یک چند وجهی محسوب میشه و شکل‌های چند وجهی مسیر منحنی‌واری ندارن، استوانه به دلیل داشتن قاعده دایره‌ای و منحنی شکل، زیر مجموعه منشور نیست. منشورها رو میشه بر اساس شکل قاعده‌شون مثل مثلثی، مربعی، شش‌ضلعی و غیره دسته‌بندی کرد.

منشورها در هندسه فضایی و نوری کاربردهای زیادی دارن. برای مثال، منشورهای مثلثی می‌تونن نور سفید رو به رنگ‌های مختلف تجزیه کنن. برای به دست آوردن حجم منشور، کافیه از فرمول زیر استفاده کنین که s نماد مساحت قاعده و h هم ارتفاعه:

حجم مخروط

یکی از اشکال هندسی که شما می‌تونین با استفاده از فرمول حجم اشکال هندسی، به حجمش دست پیدا کنین، مخروطه. این شکل از چرخش یک مثلث حول یکی از راس‌ها تشکیل میشه؛ مثل قیف. از ویژگی های مخروط می‌تونیم به موارد زیر اشاره کنیم:

• نقطه انتهای یک مخروط راس اونه؛
• مخروط یک پایه مسطح داره؛
• مخروط چند وجهی نیست؛ چون دارای یک سطح منحنی شکله.

فرمول به دست آوردن حجم این شکل، ساده‌ست؛ کافیه ارتفاع و شعاع قاعده که یک دایره‌ست رو داشته باشین:

حجم هرم

این شکل هندسی، یک قاعده داره که می‌تونه به اشکال مختلف یک چند ضلعی مثل مربع، مثلث، 6 ضلعی و… باشه. وجوه جانبی هرم، به شکل مثلث هستن و در نهایت تمام این مثلث‌ها در قسمت بالای شکل، به یک راس مشترک میشن؛ ارتفاع هرم از راس کشیده میشه و روی قاعده‌اش می‌شینه. برای به دست آوردن حجم هرم، باید از فرمول زیر استفاده کنین:

دانلود فرمول حجم اشکال هندسی PDF

برای دسترسی آسون و همیشگی شما عزیزان به فرمول حجم اشکال هندسی، گروه آموزشی پرش، فایل فرمول‌های مهم اشکال هندسی رو به صورت PDF براتون آماده کرده. با استفاده از لینک زیر می‌تونین این فایل رو دانلود کنین و همیشه بهش دسترسی داشته باشین:

چگونه فرمول‌ حجم انواع اشکال هندسی را به خاطر بسپاریم؟

ممکنه برای خیلی از افراد، یادگیری و به خاطر سپردن فرمول حجم اشکال هندسی، کمی سخت باشه. به همین خاطر می‌خوایم در ادامه مقاله، روش‌هایی رو معرفی کنیم که با به کارگیری اون‌ها میشه فرمول‌های حجم اشکال هندسی رو به خاطر سپرد و از فراموشی‌شون جلوگیری کرد.

• اگه فرمول حجم اشکال هندسی مشابه هستن، برای به خاطر سپردن اون‌ها به همین بخش‌های مشابه و مشترک توجه کنین؛
• فرمول به دست آوردن حجم اشکال هندسی رو شبیه‌سازی کرده و اجزای اون رو در ذهن خودتون با اشیاء جایگزین کنین؛
• فقط حفظ کردن کارساز نیست؛ تلاش و تمرکز شما باید روی این موضوع باشه که درک عمیقی از روشی که فرمول ارائه میده، داشته باشین؛
• تمرین، مرور، خواب کافی، ورزش، تغذیه مناسب و… رو جدی بگیرین تا بتونین حافظه‌تون رو تقویت کنین.

اهمیت یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی

یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی خیلی مهمه. به این خاطر که این فرمول‌ها به ما کمک می‌کنن تا به راحتی حجم اشکال سه بعدی یا چند بعدی رو محاسبه کنیم، که در خیلی از شغل‌ها و صنایع، نیاز به این مهارت وجود داره. علاوه بر این، یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی به افزایش دانش و مهارت‌های ریاضی در خصوص هندسه فضایی کمک می‌کنه و باعث میشه که بتونیم بهتر اشکال سه بعدی و هندسی رو درک کنیم.

به طور کلی، یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی می‌تونه به دانش‌آموزان، دانشجوها و حتی افرادی که در شغل‌های مختلف فعالیت می‌کنن، کمک کنه تا در خیلی از موارد محاسباتی و عملی ازش استفاده کنن.

کاربرد حجم اشکال هندسی در زندگی روزمره

اگه به اطراف خودتون دقت کنین، می‌بینین که دور و بر ما پر از اجسام و اشیایی با اشکال هندسی متفاوت هستن که هر کدوم محیط، مساحت و حجم خودشون رو دارن. به همین خاطر خیلی مهمه که حجم هر کدوم از اون‌ها رو تا حدودی بتونین یاد بگیرین.

مثلا اگه بخواین آشپزی کنین، علاوه بر مواد و دستور پخت باید حجم ظروف رو هم بدونین یا در زمان قدیم اگه اشخاصی در حال ساختن هرم یا معبدی بودن باید حجم اون رو می‌دونستن که به مقدار مورد نیاز برای تهیه سنگ اقدام کنن.

کاربرد حجم اشکال هندسی در سایر علوم

حجم اشکال هندسی در زمینه‌های مختلف علوم کاربرد دارد، این زمینه‌ها عبارتند از:

1. ریاضیات: حجم شکل هندسی نشون‌دهنده مقدار فضاییه که توسط اون شکل اشغال شده. مثلا در محاسبه حجم یک مخروط، از فرمول V = (1/3) × π × r² × h استفاده میشه.
2. فیزیک: حجم شکل‌های هندسی در فیزیک خیلی مهمه. مثلا، در محاسبه جرم یک جسم، معمولا حجم اون هم نقش داره. همینطور در محاسبه قدرت و شدت میدان الکتریکی و مغناطیسی هم از حجم شکل هندسی استفاده میشه.
3. شیمی: در شیمی، حجم شکل هندسی نشون‌دهنده مقدار فضاییه که توسط یک ماده اشغال شده. مثلا، در محاسبه حجم یک ماده، برای محاسبه غلظت اون برای تولید علائم و شناسایی مواد هم کاربرد داره.
4. مهندسی: در مهندسی، حجم اشکال هندسی برای محاسبه خصوصیات فضایی مختلف مورد استفاده قرار می‌گیره. به عنوان مثال، در طراحی ساختمون‌ها، محاسبه حجم بتن و فولاد که برای ساخت ساختمون استفاده میشه، خیلی مهمه.
5. پزشکی: در پزشکی، حجم اشکال هندسی برای محاسبه حجم سلول‌ها و بافت‌ها مورد استفاده قرار می‌گیره. همینطور در محاسبه دوز داروها و رادیوتراپی هم از حجم شکل هندسی استفاده میشه.

نحوه یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی در کوتاه‌ترین زمان

اکثر دانش‌آموزان تمایل دارن که با بهترین روش درس خواندن آشنا بشن تا بتونن به راحتی درس‌های خودشون رو یاد بگیرن. به طور کلی، برای یادگیری فرمول حجم اشکال هندسی بهتره از روش‌های تصویری و کاربردی استفاده کنین. مثلا:

1. برای هر شکل هندسی، فرمول حجم رو بخونین و اون رو بارها بنویسین. سعی کنین به جای حفظ فرمول‌ها، اون‌ها رو درک کنین.
2. از منابع تصویری مثل ویدئوها و تصاویر برای یادگیری استفاده کنین. فیلم‌های آموزشی و تصاویر به شما در درک بهتر مفهوم کمک می‌کنن.
3. برای تمرین، سوالات پرسیده شده رو با استفاده از فرمول‌های حجم حل کنین.
4. اگه ممکنه، فرمول‌ها رو با توجه به نحوه استفاده ازشون در واقعیت یاد بگیرین. مثلا، با اندازه‌گیری‌های یک مجسمه‌ چهارضلعی به دست آوردن حجم یک جعبه رو تجربه کنین.
5. در نهایت، تمرین و تمرین و تمرین داشته باشین و حتما مسائل زیادی رو حل کنین تا درکتون رو از فرمول حجم اشکال هندسی بالا ببرین.

[inline_post_rel p_id=2088]

جمع‌بندی

هر جسم سه‌بعدی، فضایی رو اشغال می‌کنه. این فضا بر حسب حجم اون اندازه‌گیری میشه. حجم اشکال هندسی، به‌ عنوان فضای اشغال شده در محدوده اون جسم، در فضای سه‌بعدی تعریف میشه. همینطور به عنوان ظرفیت جسم هم شناخته میشه.

با استفاده از فرمول حجم، میشه مقدار مورد نیاز برای پر کردن یک جسم رو تعیین کرد. مثل مقدار آب مورد نیاز برای پر کردن یک بطری، یک آکواریوم یا یک مخزن آب. به‌ طور کلی اندازه‌گیری با استفاده از فرمول حجم اشکال هندسی و از طریق محیط، مساحت و حجم انجام میشه.