مساحت استوانه | چطور آن را راحت و سریع حساب کنیم؟

یکی از مهم‌ترین اشکال هندسی، استوانه‌ست. استوانه در ریاضیات و هندسه کاربرد زیادی داره و شکل مهمی در فضای سه بعدیه. به همین دلیل در مدارس، حجم و مساحت استوانه رو به دانش‌آموزان آموزش میدن تا بتونن به راحتی از طریق فرمول حجم و مساحت استوانه، سوالات ریاضی و هندسه رو جواب بدن. ما در مقاله فرمول حجم اشکال هندسی به طور کامل مساحت و حجم تمام اشکال هندسی رو بررسی کردیم ولی قراره در این مقاله، به طور تخصصی به استوانه بپردازیم.

شما اول از همه با مفاهیم پایه و فرمول‌های مربوط به مساحت و حجم این شکل هندسی آشنا میشین و بعد در مرحله بعدی، با حل چند مثال متنوع، کاربرد این فرمول‌ها رو یاد می‌گیرین. هدف این مقاله اینه که با دیدن این تمرین‌ها و فرمول‌ها، بتونین سوالات طرح شده از حجم و مساحت استوانه رو به راحتی حل کنین؛ پس تا انتها با ما همراه باشین.

آموزش ترسیم استوانه به زبان ساده

استوانه، دو دایره موازی و هم اندازه در بالا و پایین داره و ارتفاع این شکل هندسی هم، همون فاصله بین این دو دایره‌ست. البته ممکنه این دو قاعده با هم موازی نباشن، که در اون صورت بهش استوانه مایل گفته میشه. از طرفی هیچ اجباری نیست که قاعده این شکل حتما دایره باشه؛ اگه قاعده این استوانه شکل دیگه‌ای باشه، به اون استوانه بی‌قاعده یا منشور وارون میگن.

در بعضی مواقع، قاعده استوانه رو شکل‌هایی مثل بیضی، هذلولی یا سهمی قرار میدن. این استوانه‌ها دارای مساحت و حجم هست که شما با استفاده از فرمول مساحت استوانه و فرمول محاسبه حجم استوانه، می‌تونین جواب دقیقی براشون پیدا کنین. در شکل زیر، گسترده یک شکل استوانه رو مشاهده می‌کنین:

محاسبه مساحت استوانه

یکی از فرمول‌هایی که دانش‌آموزان بهش نیاز دارن و باید اون رو به خوبی بلد باشن، فرمول مساحت استوانه‌ست. برای این که بتونیم مساحت کل و مساحت جانبی استوانه رو به دست بیاریم، باید اول مساحت هر 3 وجهی که داره رو پیدا کنیم، یعنی دو تا دایره و یک طول با ارتفاع h به اندازه محیط دایره.

اگه بخوایم شعاع دایره رو r در نظر بگیریم و ارتفاع استوانه هم h باشه، مساحت استوانه با استفاده از فرمول زیر به دست میاد:

S = 2𝜋r²+2𝜋rh

برای این که بتونین راحت‌تر فرمول مساحت استوانه رو متوجه بشین، در ادامه مراحل به دست آوردن مساحت استوانه رو براتون توضیح میدیم.

قدم اول: محاسبه مساحت قاعده بالا و قاعده پایین

اگه استوانه رو یک قوطی در نظر بگیریم، وجه بالا و پایینش به شکل یک دایره‌ست و برای محاسبه مساحت بالا و پایین استوانه، باید مساحت دو تا دایره رو به دست بیاریم. معمولا در صورت سوال، برای به دست آوردن مساحت دایره، شعاع به شما داده میشه، اما اگه در سوال قطر رو داده باشن، کافیه اون رو بر 2 تقسیم کنین تا شعاع به دست بیاد. فرمول مساحت دایره میشه:

πr²

عدد پی هم که در این فرمول استفاده میشه حدود 3.14 هست و باید دو برابر شعاع رو ضرب در عدد پی کنین. از این طریق مساحت یکی از دایره‌های شما به دست میاد. برای به دست آوردن مساحت یکی دیگه از قاعده‌ها هم باید همین مراحل رو تکرار کنین.

[inline_post_rel p_id=1411]

قدم دوم: محاسبه مساحت سطح جانبی استوانه

دو تا قاعده استوانه توسط یک دیواره به هم متصل شدن. شعاع دیواره‌های استوانه با شعاع دایره‌های بالا و پایین برابره؛ اما یک تفاوت بین این دو وجه وجود داره. دایره‌ها ارتفاع ندارن ولی این دیواره یک ارتفاع داره که برای فرمول مساحت جانبی استوانه خیلی مهمه.

برای به دست آوردن مساحت جانبی استوانه باید محیط قاعده‌ها رو داشته باشین. برای به پیدا کردن محیط قاعده که در این استوانه همون دایره‌ست، در ابتدا باید شعاع دایره رو به دست بیارین و بعدش اون رو در 2π ضرب کنین. یعنی فرمول محیط دایره میشه:

2𝜋r

در نهایت برای این که فرمول به دست آوردن مساحت جانبی استوانه رو پیدا کنین، باید اندازه ارتفاع دیواره‌ها رو در 2𝜋r ضرب کنین؛ پس برای محاسبه مساحت جانبی استوانه داریم:

2𝜋rh

قدم سوم: جمع مساحت سطح جانبی و مساحت دو قاعده

در مراحل قبلی شما قاعده و دیواره اطراف استوانه رو به طور جدا از هم فرض کردین و مساحت هر کدوم رو به دست آوردین. در این مرحله باید مساحت دو تا قاعده بالا و پایین و مساحت دیواره اطراف رو با هم جمع کنین. یعنی برای فرمول مساحت استوانه داریم:

2𝜋r²+2𝜋rh

مثال 1: با توجه به شکل رو به رو، مساحت استوانه قائم رو به دست بیارین.

1155.52 = 15 * 8 * 3.14 * 2 + 64 * 3.14 * 2 = S = 2𝜋r²+2𝜋rh

مثال 2: مساحت استوانه‌ای با شعاع 4 و ارتفاع 17 رو به کمک فرمول پیدا کنین.

634.28 = 17 * 5 * 3.14 * 2 + 16 * 3.14 * 2 = S = 2𝜋r²+2𝜋rh

مثال 3: مساحت جانبی استوانه‌ای با شعاع 10 و ارتفاع 8 رو به دست بیارین.

502.4 = 8 * 10 * 3.14 * 2 = 2𝜋rh

مساحت استوانه مایل

در قسمت قبلی گفتیم که امکان داره استوانه ما به شکل قائم نباشه و کمی به شکل کج رسم شده باشه. حالا ممکنه سوال پیش بیاد براتون که اگه استوانه‌ای مایل براتون رسم کردن و مساحتش رو خواستن، از چه فرمولی باید استفاده کنین؟

برای پاسخ به این سوالتون باید بگیم که نیازی به حفظ کردن فرمول جدید برای استوانه مایل نیست. شما برای محاسبه مساحت استوانه مایل کافیه که فرمول استوانه قائم رو بلد باشین؛ چون فرمول محاسبه مساحت این دو شکل با هم یکیه. در واقع فرقشون اینه که دو تا دایره قاعده، به جای این که به هم موازی باشن، کمی متفاوت‌تر قرار گرفتن.

در شکل زیر، یک استوانه مایل رو مشاهده می‌کنین.

مثال: با استفاده از داده‌های سوال، مساحت استوانه مایل زیر رو دست بیارین.

1444.4 = 13 * 10 * 3.14 * 2 + 100 * 3.14 * 2 = S = 2𝜋r²+2𝜋rh

[inline_post_rel p_id=2877]

محاسبه حجم استوانه

برای این که بتونین حجم یک استوانه رو به دست بیارین، لازمه که ارتفاع و شعاع قاعده رو داشته باشین. البته گاهی به جای شعاع، قطر دایره رو به شما میدن که در این شرایط باید مقدار قطر رو تقسیم بر 2 کنین تا شعاع به دست بیاد.

با استفاده از شعاع و عدد پی، باید مساحت قاعده یک استوانه که فرض می‌کنیم دایره‌ست رو به دست بیاریم و بعدش در ارتفاع استوانه ضرب کنیم. اگه شعاع دایره رو r در نظر بگیریم و ارتفاع استوانه h باشه، حجم استوانه از طریق فرمول زیر محاسبه میشه:

V = 𝜋r²h

مثال 1: حجم این استوانه رو با توجه به اطلاعات داده شده به دست بیارین.

3014.4 = 15 * 64 * 3.14 = V = 𝜋r²h

مثال 2: فرض کنین که قراره داخل استوانه زیر رو با پر از آب کنیم. اگه شعاع قاعده 6 متر و ارتفاعش 12 سانتی متر باشه، چه مقدار آب در این استوانه جا میگیره؟

1356.48 = 12 * 36 * 3.14 = V = 𝜋r²h

[inline_post_rel p_id=4216]

کلام آخر

یاد گرفتن فرمول‌های محیط و مساحت اشکال هندسی مثل استوانه، برای دانش‌آموزان خیلی مهمه؛ چون در مباحث مختلف ریاضی، خیلی با این شکل‌ها سر و کار دارین. اگه این فرمول‌ها رو بلد نباشین، برای حل تمرین‌ها و سوالات به مشکل برمی‌خورین.

برای همین، در این مقاله فرمول‌های حجم و مساحت استوانه رو خیلی ساده و قابل فهم توضیح دادیم و اول شما رو با شکل استوانه آشنا کردیم، بعدش توضیح دادیم که چطوری مساحت جانبی، مساحت کل و حجمش رو حساب کنین.

در آخر هم چند تا مثال براتون حل کردیم تا راحت‌تر بتونین این فرمول‌ها رو یاد بگیرین و در ذهنتون بمونه. اگه این مطلب رو با دقت بخونین، دیگه برای جواب دادن به سوالات این مبحث، مشکل یا سوالی براتون پیش نمیاد.